FUNCIONES
Con frecuencia, utilizamos la palabra “función”, para indicar la relación o dependencia que existe entre una cantidad respecto de otra u otras. Así, por ejemplo, decimos que, el volumen de una esfera, es función de su radio; o, que la velocidad de una partícula es función de su velocidad y del tiempo transcurrido.
Las funciones, pueden ser representadas por medio de relaciones, que expresan la dependencia entre dos o más cantidades. Por ejemplo, si consideramos la fórmula del volumen de una esfera
, se observa que el valor de V , depende del valor de r , y se dice, entonces, que V es la variable dependiente y r la variable independiente.De gran importancia para el cálculo, son aquellas relaciones, en las que, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente. Tales relaciones reciben el nombre de funciones .
1.9.1 Definición de función.
Una función f de X en Y , denotada por f : X ?? Y, es una regla de correspondencia (relación, ecuación, fórmula, etc.), que asigna a cada elemento x ? X , uno y sólo un elemento y ? Y . Además, se dice que y es la imagen de x bajo f , y se denota por y = f ( x ). Al conjunto X se le llama el dominio y al conjunto Y , elcontradominio de la función f .
1.9.2 Gráfica de una función.
La manera más común de visualizar una función, es a través de su gráfica. La gráfica de una función f ( x ), está formada por todos los puntos ( x , y ) del plano cartesiano, tales que, x pertenece al dominio de la función y y = f ( x ). Esto es, la gráfica de una función es el conjunto:
.
Así por ejemplo, la ecuación
no representa una ecuación, mientras que, la ecuación 
es una función, según se muestra en las siguientes gráficas.  no es una función de x |   es una función de x |
Ejemplo 1. Hallar el dominio y el contradominio de la función
. Graficar.Solución: Debido a que no existe ninguna restricción para los valores que pueda adquirir la variable x , se deduce que, el dominio, está formado por el conjunto de los números reales R .
De la misma forma, el contradominio está formado por los números reales R . La gráfica es:
|  |
Ejemplo 2.- Hallar el dominio y el contradominio de
Solución: El dominio está formado por los números reales R . El contradominio lo forman los valores de y tales que
. La grafica de la función es
|  |
Ejemplo 3. Hallar el dominio y el contradominio de la función
. Graficar.Solución: El dominio, está formado por los números reales R . Despejando a la variable x en la ecuación anterior, obtenemos:
. Por lo tanto, el contradominio está formado por aquellos valores de y para los cuales 
, ó 
. La gráfica, muestra los resultados anteriores.
|  |
Ejemplo 4. Hallar el dominio y el contradominio de la función: h ( x ) = sen x .
Solución: El dominio de h , está definida para todos los números reales R . Además, sabemos que, los valores de sen x para cualquier valor de x , varían entre -1 y 1. Por lo tanto, el contradominio es: [-1, 1]
Ejemplo 5. Hallar el dominio y el contradominio de la función:
.Solución: El dominio, lo forman aquellos valores de x , para los cuales: x - 2 ? 0 ó x ? 2. En forma de intervalo, el dominio es: [2, ?).
Despejando a x , obtenemos:
, la cual está definida para cualquier valor de y , y como y debe ser positivo, hallamos el contradominio: [0, ?). La gráfica es:
|  |
Solución: El dominio, lo forman aquellos valores de x que cumplen la condición
, esto es 
. Por lo tanto, el dominio es R -{3}. Para hallar el contradominio, despejamos a x : 
. Esta expresión está definida para y > 0, es decir 
. La gráfica muestra estos resultados.
|  |
Ejemplo 7. Hallar el dominio y el contradominio de la función:
Solución: El dominio, lo forman aquellos valores de x que satisfacen la condición:
. Para resolver esta desigualdad, separamos en dos casos: |  |
Por lo tanto, la unión de ambos intervalos nos proporciona el dominio:
. Despejando a x en la expresión, hallamos: 
, la cual está definida para los valores de y que pertenecen al intervalo [-4, 4], y considerando que, además, los valores de y son positivos, encontramos el contradominio: [0, 4???La gráfica de la función es:
|  |
Ejemplo 8. Hallar el dominio y el contradominio de la función:
.Solución: El subradical de una raíz cuadrada, está definido para valores que son positivos o iguales a cero. Por lo tanto, se debe cumplir que
.Factorizando la expresión:
Para resolver la desigualdad, consideramos dos casos:
a) Ambos factores son positivos: | b) Ambos factores son negativos: |
Por lo tanto, el dominio es la unión de ambos intervalos:
. Para hallar el contradominio, despejamos a x en la ecuación y obtenemos: 
la cual está definida para cualquier valor de y . Además, de acuerdo a la ecuación dada, y es positiva. Por lo tanto, el contradominio de la función es: [0 ??????La gráfica muestra los resultados anteriores:
|  |
Ejemplo 9. Hallar el dominio y el contradominio de la función:
Solución: Para este caso, se debe de cumplir que x - 2 ???. Por lo tanto, se presentan dos posibilidades: x – 2 > 0 ó x – 2 < 0, o equivalentemente x > 2 ó x < 2
Es decir, el dominio de f ( x ) es: R – {2}.Al sustituir los valores del dominio en la función f ( x ), hallamos el contradominio R – {1}.??La gráfica de la función es:
|  |
Solución: El dominio de f , está formado por aquellos valores de x , para los cuales, se cumple que
. Por lo tanto 
, o de forma equivalente R – {-1, 1}. Para hallar el contradominio, despejamos a x :
.
. Para resolver esta desigualdad, separamos en dos casos:
multiplicando por y > 0
La intersección es:
 | 
multiplicando por y < 0
La intersección es:
 |
. La gráfica de la función muestra los resultados anteriores:
Función algebraica. Es aquella, en la cual, la dependencia entre la función y la variable independiente puede expresarse por medio de alguna de las siguientes operaciones: suma, resta, multiplicación, división y potencia con exponente constante (entero o fraccionario, positivo o negativo). La suma y resta deben tener un número limitado de términos, y la multiplicación un número limitado de factores. Ejemplos:  ,  ,  Las funciones algebraicas se clasifican, de acuerdo a las operaciones en la variable independiente, en: a) Racionales e Irracionales. Las funciones racionales son las que no tienen en la variable independiente alguna raíz o exponente fraccionario irreducible. En caso contrario, si la variable independiente tiene alguna raíz o exponente fraccionario irreducible, son irracionales. Ejemplos:  , son racionales. , son irracionales.b) Enteras y Fraccionarias. Una función racional es entera , cuando la variable independiente tiene exponente entero positivo y dicha variable no aparece en el denominador. En caso contrario, si la variable independiente tiene exponente entero negativo o aparece en el denominador, entonces, son fraccionarias . Ejemplos:  , son enteras. , son fraccionarias.c) Explícitas e Implícitas. Una función de la variable independiente es explícita, cuando las operaciones para obtener su valor están directamente indicadas. Esto es, si la variable dependiente está despejada en un lado de la igualdad. En caso contrario, se dice que es una función implícita. Ejemplos:  , es una función explícita de x . es una función implícita.Función trascendente. Es aquella en donde, la dependencia entre la función y la variable independiente no puede expresarse por un número limitado de las cuatro operaciones algebraicas. Ejemplos:  ,  ,  ,  Función Par . Una función y = f ( x ) es una función par, si para toda x en el dominio de f se cumple que:   es par, si al sustituir x por – x se obtiene el mismo resultado. Gráficamente, una función y =  es par, si es simétrica con respecto al eje y . es par o impar.Solución: Al sustituir x por – x se obtiene:   . Por lo tanto, la función  es par. Ver gráfica   es impar, si al sustituir x por – x se obtiene el valor simétrico de la función.Gráficamente, una función y =  es impar si es simétrica con respecto al origen.Ejemplo: Indicar si la función  es par o imparSolución: Al sustituir x por – x se obtiene:   , por lo tanto  es impar. Ver gráfica. Nuestra atención se centrará, principalmente, en aquellas funciones que relacionan a la variable dependiente e independiente por medio de una ecuación. Para hallar el valor de una función, se despeja la variable dependiente “ y ” del lado izquierdo de la ecuación, y se asignan valores (que pertenezcan al dominio de f ) a la variable independiente “ x ” en el lado derecho. Por ejemplo, la ecuación  se puede expresar como  , describe la dependencia de y con respecto a x . Conviene representar esta dependencia como:  Así, la función anterior se puede escribir como:    , hallar:a) f (4 a ) , b) f (2 b -5) , c) f (2 x - h ) y d)  Solución: Expresemos la ecuación f en la forma:  .    Ejemplo 2. Dada la función  , hallar:a) g (4), b) g (2 x +5), c)  Solución: Expresemos la función g ( x ) como  a)  b)   Ejemplo 3. Dada  , hallar  Solución: Expresemos  . Entonces  demostrar que  . Entonces  Ejemplo 5. Dada  , demostrar que Solución: Expresemos la función en la forma  . Entonces  En donde se aplicaron las identidades trigonométricas para el seno de una suma y el seno de una diferencia de dos ángulos (ver apéndice). Por lo tanto   , demostrar que  .Solución: Expresemos h ( x ) en la forma  , entonces Solución: a) Construyamos un rectángulo de largo x y de ancho y .   Despejando a la variable y de la ecuación 1):  Sustituyendo en la ecuación 2) se obtiene:  Por lo tanto, el área del rectángulo en función de x es:   Al resolver esta desigualdad se halla que el dominio es el intervalo: [0,10]
La mayor área se obtiene cuando las dimensiones del rectángulo son: x = 5, y =5 y A = 25. Es decir, cuando el rectángulo es un cuadrado. Ver gráfica. Ejemplo 8. Se desea construir una caja con su parte superior abierta, a partir de una hoja cuadrada de cartón de 12 cm. por lado, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando los lados, tal como se ilustra en la figura. a) Expresar el volumen V de la caja en función de x. b) Construir una tabla de valores para V y graficar. c) ¿Para qué valor de x se obtiene el mayor volumen?
Solución a) El volumen de la caja es igual al área de la base por la altura:  b) Si consideramos que el volumen es positivo, entonces el dominio de V ( x ) es [0,6].
c) El mayor volumen de la caja es de 128 cm 3 ., y corresponde a x = 2 cm. Las dimensiones de la caja son: Largo = 8 cm., Ancho = 8 cm., Altura = 2 cm. Dadas dos funciones f ( x ) y g ( x ), éstas se pueden combinar para formar nuevas funciones, mediante el empleo de las operaciones algebraicas. Así tenemos: Suma de funciones. Si definimos la suma f + g por la ecuación   .De la misma manera, podemos definir la diferencia  y el producto  , sus dominios también son  . No obstante, al definir la división  , debemos tener en cuenta que, la división entre cero no está permitida.Resumiendo lo anterior, sean f y g dos funciones con dominios A y B . Entonces, las funciones  se definen como sigue: dominio  . dominio  . dominio  . dominio =  Ejemplo 1. Sean  y  , hallar  .Solución: El dominio de f y g son todos los números reales ( R ). Por lo tanto, de acuerdo a las definiciones, tenemos  Dominio: R Dominio: R Dominio: R Dominio: R - {1,2}El dominio de f / g es R – {1,2}, porque debemos de excluir los valores de x en donde g ( x ) = 0, es decir, x = 1 y x = 2. Ejemplo 2. Si  y  , hallar  .Solución. El dominio de  esta formado por todos los números x tales que  , es decir,  . El dominio de  lo forman todos los números x tales que  , esto es,  . La intersección de ambos dominios es  .Por lo tanto, de acuerdo a las definiciones se tiene:  Dominio: [0, 3] Dominio: [0, 3] Dominio: [0, 3] Dominio: [0, 3)El dominio de f / g es el intervalo [0, 3), porque se excluyeron los valores de x en donde g ( x ) = 0, es decir,  .La composición de funciones, es una operación que consiste en aplicar sucesivamente dos funciones en un orden determinado para obtener una tercera. Esta operación se define de la siguiente manera: Dadas dos funciones f y g , la función compuesta  , también llamada la composición de f con g , está dada por  se lee “ g compuesta con f ”, primero se aplica g y después f .El dominio de  ( x ) es el conjunto de todos los x en el dominio de g ( x ), tales que g ( x ), esté en el dominio de f ( x ).La mejor manera de representar la composición  es mediante un diagrama. La notación  significa que, primero se aplica la función g y luego f .
 .Ejemplo 3. Si  y  , hallar a)  , b)  .Solución: a)  La función  está definida para todos los números reales R . Para que  esté definida, se debe de cumplir que  , es decir  . Por lo tanto, el dominio de  es  .b)  La función  está definida para  , es decir  . La función  está definida para todos los números reales R . Por lo tanto, el dominio de es  .Ejemplo 4. Si  y  , hallar  y su dominio.Solución:  La función  está definida para  . La función  está definida para  , es decir  . Por lo tanto, el dominio de  es  .Podemos generalizar la definición de composición, para el caso, de más de dos funciones. Así por ejemplo, para el caso tres, tenemos:   , si  Solución:  Ejemplo 6. Hallar  , si  Solución:  Ejemplo 7. Dada  , encontrar las funciones f , g y h tales que  .Solución: Reordenando a F ( x ), ésta se puede expresar de la siguiente manera:    Ciertos estudios muestran que el crecimiento de una población (humana o de bacterias), se comporta de acuerdo a una función exponencial:  , en donde No es la población inicial, t es el tiempo transcurrido y k es una constante.La siguiente tabla muestra los datos de un experimento, en donde un cultivo de bacterias se inició con 100 de ellas en un medio nutritivo limitado. El tamaño de la población de bacterias se registró a intervalos de una hora. El número de bacterias N , es función del tiempo t :  .
Supóngase que cambiamos nuestro punto de vista y, que ahora, estamos interesados en el tiempo requerido para que la población alcance diversos tamaños. Es decir, estamos interesados en t como función de N . Esta función se llama función inversa de f , denotada por  y se lee “inversa de f ”. Por lo tanto,  representa el tiempo requerido para que la población sea de tamaño N .
Sin embargo, no todas las funciones poseen inversas. Supóngase las siguientes funciones f y g cuyos diagramas se muestran a continuación.  Notar que la función g toma el mismo valor dos veces (tanto 6 como 7 tienen la misma salida 8), esto es  . En tanto que f nunca adquiere el mismo valor dos veces (cualesquiera dos entradas de A tienen salidas diferentes en B ), es decir , siempre que   siempre que  .Si una recta horizontal intersecta a la gráfica de una función f en más de un punto, entonces, existen al menos dos números  , tales que  . Esto significa que la función f no es uno a uno. Ver gráfica.
Ejemplo 1. Verificar si la función  es uno a uno.Solución: Sea  , entonces,  , ya que, dos números diferentes no pueden tener el mismo cubo. Por lo tanto  es uno a uno.
Ejemplo 2. Verificar si la función  es uno a uno.Solución: Esta función no es uno a uno, porque, por ejemplo,  y, por lo tanto, 2 y -2 tienen la misma imagen.
Las funciones uno a uno son importantes porque poseen funciones inversas, de acuerdo a la siguiente definición. Si f es una función uno a uno, con dominio A y rango B , entonces su función inversa  , la cual tiene dominio B y rango A se define por para cualquier y en B . Esta definición indica que si f mapea x en y , entonces  mapea y de regreso a x . La función inversa  invierte el efecto de f .
Dominio de
 = Rango de f
Rango de
 = Dominio de fPara hallar la función inversa  de una función f uno a uno, procedemos de la siguiente manera:Paso 1. Escribimos  Paso 2. Despejamos (si es posible) a la variable x en términos de y . Paso 3. Intercambiamos las variables x y y . La ecuación resultante es la función inversa de f , es decir  .Ejemplo 3. Encontrar la función inversa de  Solución. De acuerdo a lo anterior, primero escribimos:  Luego despejamos a la variable x :  Por último, intercambiamos la variable x y la variable y :  De donde, la función inversa es  Para hallar la gráfica de una función inversa, nos basamos en el principio de que podemos intercambiar x y y . De acuerdo a esto, un punto ( a , b ) está sobre la gráfica de f , es decir b = f ( a ), si y sólo si ,el punto ( b , a ) está también sobre la gráfica de  , es decir  ; pero el punto ( b , a ) se obtiene de ( a , b) por reflexión respecto de la recta y = x . Por lo tanto, se obtiene la gráfica de  al reflejar la gráfica de f respecto a la recta  , como lo ilustra la siguiente gráfica. Ejemplo 4. Trazar la gráfica de  y de su función inversa, en el mismo sistema de coordenadas.Solución. Primero trazamos la gráfica de  (la mitad superior de la parábola  que abre hacia la derecha del eje x ) y luego la reflejamos respecto a la recta  para obtener la gráfica de  (la mitad derecha de la parábola  ,  que abre hacia arriba del eje y ). Podemos construir gráficas a partir de las gráficas de ciertas funciones relacionadas, mediante el empleo de algunas transformaciones, las cuales reducen considerablemente el trabajo en su elaboración. Desplazamientos verticales y horizontales . Sea y = f ( x ) y c > 0, entonces, para obtener la gráfica de:  , se desplaza la gráfica de  una distancia de c unidades hacia arriba. , se desplaza la gráfica de  una distancia de c unidades hacia abajo. , se desplaza la gráfica de  una distancia de c unidades hacia la derecha. , se desplaza la gráfica de  una distancia de c unidades hacia la izquierda.
Traslación de la gráfica de f ( x )
Ejemplo 1. A partir de la gráfica de  , graficar a)  , b)  , c)  , d)  , e)  .Solución. Primero hallamos la gráfica de la función  , la cual representa la parte positiva de una parábola con vértice en el origen y eje focal el eje x .
 está reflejada respecto al eje y . Alargamientos y reflexiones verticales y horizontales. Si suponemos que c >1, entonces  , alarga la gráfica de  verticalmente en un factor de c . , comprime la gráfica de  verticalmente en un factor de c . , comprime la gráfica de  horizontalmente en un factor de c . , alarga la gráfica de  horizontalmente en un factor de c . , refleja la gráfica de  respecto al eje x . , refleja la gráfica de  respecto al eje y .Ejemplo 2. La siguiente gráfica ilustra la transformación de alargamiento vertical cuando se aplican a la función seno con  .  .  Solución. Al completar a un trinomio cuadrado perfecto, la ecuación se puede expresar como   , se puede graficar la ecuación mediante un desplazamiento horizontal de 2 unidades a la derecha y , a continuación , 1 unidad hacia arriba.
|
se llama inyectiva si para toda pareja 
con 
se tiene 
.
, definida por 
, 
.
se llama suprayectiva si para toda 
existe 
tal que 
.
, definida por 
, 
.
se llama biyectiva si es inyectiva y suprayectiva . Es decir, si para todo 
, entonces
, siempre que 
definida por 
, 
es uno a uno
no es uno a uno
está desplazada 3 unidades hacia abajo.
está desplazada 3 unidades hacia la derecha.
está reflejada respecto al eje x .
está alargada verticalmente por un factor de 3
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